氢原子电子云分布的可视化分析

量子力学是以抽象思维为基础，研究真实物理过程无法直接观察的微观客体的物理理论。如何将抽象复杂的量子理论形象化、可视化是人们探索研究的一个方向。近年来，随着计算机技术的高速发展，计算机三维重构技术日趋成熟，结合计算物理学方法和计算机绘图软件的强大功能，使得抽象量子理论的可视化分析更加形象逼真1131.氢原子由于其结构简单，薛定谔方程可以严格求解，波函数可以写成解析形式，因而不论在量子力学的研究还是分析原子分子结构，揭示化学键本质方面都有着及其重要的作用141.学者对氢原子波函数量子力学解一直做着深入的研究157，但由于理论相对比较抽象，氢原子波函数的可视化描述也同样受到人们的关注。张建华等人曾用Origin6.0软件绘制了氢原子波函数图形1891，陈锺贤用MC方法对氢原子电子云的模拟也做了简单的探讨110.本文利用Matlab软件从不同的角度对氢原子各种状态下的电子云分布进行了可视化分析，直观地揭示了氢原子电子云的几率分布规律，为量子力学抽象波函数的可视化分析提供了思路。

1单电子体系的波函数单电子体系中电子在原子核势场中球极坐标下的薛定谔方程为111121：基金项目：西安理工大学校基金项目（108210309）。

ma（lemigxaut.e（lu.cn施卫（1957），男，浙江金华人，教授，博导，研究方向为固态电子器件的设计和研制。E设Xr0，外=R（r）Y（e，句，根据分离变量法求解可得径向角分布函数式（2）以及球谐函数式（3）：其中归一化可得：根据氢原子的定态薛定谔方程的波函数解，就可以讨论氢原子内电子在空间各点的几率分布情况，但此物理模型非常抽象，不易理解。

下面利用Matlab软件分别从径向、角度和空间三个方面对氢原子电子云的分布情况进行可视化分析和讨论。

2氢原子电子云的分布将式（4）对e从1，对从-及积分，并注意到Y/，m（0，朽是归一化的，便可得到在半径r到r+dr的球壳内找到电子的几率是：利用Matlab绘制氢原子各状态下径向波函数Rn/（r）和径向几率分布函数D（r）=r2R2（r）曲线a’、b’、c、d’和e’分别为对应的径向几率分布函从可以看出：氢原子在原点处的电子云密度*大，并随半径r的增大作指数衰减；径向分布函数Rn，/（r）有节点，即在某些r值（r乒0）处，Rn，/（r）=0，且节点数与电子状态量子数相关。例如对R20（r），有1个节点（见a）对R30（r），有2个节点（见b）。

/（r）是归一化的，可以得到电子在（0外方向附近立体角dfi=内的几率为bookmark7从可看出，各种不同状态下氢原子的角度电子几率密度的大小，其中颜色深表示电子几率密波函数与其角度几率分布函数图样形状基本一致，度大。从空间几率分布切片图可以更加直观地看出氢原子的状态不同，其电子云的角度分布方向与形氢原子电子云的分布情况。比如b作出了n=处的切片图。可以看出图形为两个浓球冠和三维空间上的电子概率密度分布为：一个稀薄的球带环，浓球冠中心在z轴上，球带环在Wn，/，m（r，e，二X/m（r，e，2（7）z=0平面上，球冠和球带环密度*大处的半径相利用Matlab软件绘制氢原子各状态下的空间等。由b’可以清晰地看出电子出现在球带环的几率分布切片图见。切片图上颜色的深浅表示概率是比较小的。

3结果讨论通过对不同状态下氢原子电子云的径向、角度和空间分布的可视化分析，使得人们对氢原子电子云的分布规律有了更加系统直观地理解。

对于s态电子，IY，m2为常数，故电子云与角度9、的大小无关，其电子云的形状应该是球形的。

但从可知，s态的电子云不是一个空心球而是一个中心处电子云密度*大的实心球。如果取高于某个概率密度值的空间为电子云二球体并把这个密度值称为边界密度，绘制电子云如a由此可以直观地看出电子云的分布规律。对于不同的状态，即主量子数n取不同的值，其电子云密度分布是不相同的。如所示，其分布并不一定是单调递减的，而是在减为零后又有可能发生变化（如图lb’），此后还形成了两个峰。若取合适的边界密度就会在实心电子云球体外出现同心的电子云球壳，但这些球壳的电子云密度要比中心处小得多。尽管这些电子云密度都是在原点处*大，但是由图la’、b’可知，电子出现在半径为r处的概率*大处不是在原点。因为如果考虑以半径r为参数的概率分布，就要考虑半径为r的球面，虽然越接近原点电子云密度越大，但是球面的面积以r-2减小。

对于p电子，尽管电子概率密度随角度变化的关系与a’类似，但电子云的分布形状并不是传统认为的纺锤形，因为还要考虑电子的径向概率分布，总的概率分布是二者的乘积。c作出了n=1，/=l，m=1的p电子云的空间分布在x=，少=0，z=0的切片图，根据切片图上颜色的深浅可直观地看出其电子概率密度的大小分布。

量子力学中以电子在各处出现的概率来描述电子的状态，摒弃了轨道的概念。但从氢原子电子云的可视化分析中还可以清晰地看到轨道的痕迹，与轨道理论不同的是这里的轨道比较宽，不是轨道理论上的线性，且比电子本身线度要宽得多。

通过对氢原子电子云的可视化分析，可以形象地认识微观粒子的运动形态和量子理论抽象的波函数概率波解释；同时为分析其他原子乃至分子的结构和组成原理，解决实际问题，提供了一种可行的研究思路和方法。